Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0.2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $0.2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 + 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0.1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $0.2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $0.3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(0.8 - λ) | \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (0.8 - λ) | \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} | + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) | \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} | + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.1 \\ 0.3 & 0.7 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) ((0.5 - λ) (0.7 - λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Развернем $(0.5 - λ) (0.7 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.5 (0.7 - λ) - λ (0.7 - λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.5 \cdot 0.7 + 0.5 (- λ) - λ (0.7 - λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.5 \cdot 0.7 + 0.5 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1.1

Умножим $0.5$ на $0.7$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 + 0.5 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.3

Умножим $0.7$ на $- 1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - λ (- λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ + 1 λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 0.5 λ - 0.7 λ + λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Вычтем $0.7 λ$ из $- 0.5 λ$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.3 \cdot 0.1) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.3

Умножим $- 0.3$ на $0.1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.35 - 1.2 λ + λ^{2} - 0.03) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.2

Вычтем $0.03$ из $0.35$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (- 1.2 λ + λ^{2} + 0.32) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.3

Изменим порядок $- 1.2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 | \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0.2 & 0.2 \\ 0.5 - λ & 0.1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.2 \cdot 0.1 - (0.5 - λ) \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Умножим $0.2$ на $0.1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - (0.5 - λ) \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 1 \cdot 0.5 - - λ) \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 0.5 - - λ) \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 0.5 + 1 λ) \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.4.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 + (- 0.5 + λ) \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - 0.5 \cdot 0.2 + λ \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.6

Умножим $- 0.5$ на $0.2$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - 0.1 + λ \cdot 0.2)$

Этап 1.5.4.2.1.7

Перенесем $0.2$ влево от $λ$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.02 - 0.1 + 0.2 λ)$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $0.1$ из $0.02$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (- 0.08 + 0.2 λ)$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок $- 0.08$ и $0.2 λ$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Добавим $(0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32)$ и $0$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32) + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Развернем $(0.8 - λ) (λ^{2} - 1.2 λ + 0.32)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 0.8 λ^{2} + 0.8 (- 1.2 λ) + 0.8 \cdot 0.32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Умножим $- 1.2$ на $0.8$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.8 \cdot 0.32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.2

Умножим $0.8$ на $0.32$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - (λ^{2} λ) - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{2 + 1} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - λ (- 1.2 λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 1 \cdot - 1.2 λ \cdot λ - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 1 \cdot - 1.2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 1 \cdot - 1.2 λ^{2} - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.6

Умножим $- 1$ на $- 1.2$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} + 1.2 λ^{2} - λ \cdot 0.32 + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.2.7

Умножим $0.32$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0.8 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} + 1.2 λ^{2} - 0.32 λ + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.3

Добавим $0.8 λ^{2}$ и $1.2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 0.96 λ + 0.256 - λ^{3} - 0.32 λ + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.4

Вычтем $0.32 λ$ из $- 0.96 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.2 (0.2 λ - 0.08)$

Этап 1.5.5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.2 (0.2 λ) + 0.2 \cdot - 0.08$

Этап 1.5.5.2.6

Умножим $0.2$ на $0.2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.04 λ + 0.2 \cdot - 0.08$

Этап 1.5.5.2.7

Умножим $0.2$ на $- 0.08$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.28 λ + 0.256 - λ^{3} + 0.04 λ - 0.016$

Этап 1.5.5.3

Добавим $- 1.28 λ$ и $0.04 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.24 λ + 0.256 - λ^{3} - 0.016$

Этап 1.5.5.4

Вычтем $0.016$ из $0.256$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 1.24 λ - λ^{3} + 0.24$

Этап 1.5.5.5

Перенесем $- 1.24 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - λ^{3} - 1.24 λ + 0.24$

Этап 1.5.5.6

Изменим порядок $2 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 2 λ^{2} - 1.24 λ + 0.24$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 2 λ^{2} - 1.24 λ + 0.24 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$λ = \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, 1$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - \frac{2}{5} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- \frac{2}{5}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 (\frac{2}{5}) \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 (\frac{2}{5}) \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы записать $0.8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Объединим $0.8$ и $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5 - 2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.4.1

Умножим $0.8$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 - 2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.4.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.5

Сократим общий множитель $2$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.5.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 (2)}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.5.2.1

Перепишем $5$ в виде $1 (5)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.6

Добавим $0.2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.7

Добавим $0.2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.9

Чтобы записать $0.5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.10

Объединим $0.5$ и $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5 - 2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.12.1

Умножим $0.5$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{2.5 - 2}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.12.2

Вычтем $2$ из $2.5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.13

Разделим $0.5$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.14

Добавим $0.1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.15

Добавим $0.2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.16

Добавим $0.3$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.17

Чтобы записать $0.7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.18

Объединим $0.7$ и $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5 - 2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.20.1

Умножим $0.7$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{3.5 - 2}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.20.2

Вычтем $2$ из $3.5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{1.5}{5} \end{array}]$

Этап 3.2.3.21

Разделим $1.5$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} & \frac{5}{2} \cdot 0.2 & \frac{5}{2} \cdot 0.2 & \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.3 - 0.2 (\frac{1}{2}) & 0.3 - 0.2 (\frac{1}{2}) & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{0}{0.1} & \frac{0.1}{0.1} & \frac{0.1}{0.1} & \frac{0}{0.1} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - z \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- \frac{3}{5}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 (\frac{3}{5}) \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 (\frac{3}{5}) \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- \frac{3}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 (\frac{3}{5}) & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{5} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы записать $0.8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Объединим $0.8$ и $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 5 - 3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Умножим $0.8$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 - 3}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Сократим общий множитель $1$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Перепишем $1$ в виде $1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 (1)}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.2.1

Перепишем $5$ в виде $1 (5)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 + 0 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $0.2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 + 0 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $0.2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 + 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Чтобы записать $0.5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.10

Объединим $0.5$ и $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{0.5 \cdot 5 - 3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.12.1

Умножим $0.5$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{2.5 - 3}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.12.2

Вычтем $3$ из $2.5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & \frac{- 0.5}{5} & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.13

Разделим $- 0.5$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.14

Добавим $0.1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 + 0 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.15

Добавим $0.2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 + 0 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.16

Добавим $0.3$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.17

Чтобы записать $0.7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.18

Объединим $0.7$ и $\frac{5}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.7 \cdot 5 - 3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.20.1

Умножим $0.7$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{3.5 - 3}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.20.2

Вычтем $3$ из $3.5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & \frac{0.5}{5} \end{array}]$

Этап 4.2.3.21

Разделим $0.5$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 (\frac{1}{5}) & 5 \cdot 0.2 & 5 \cdot 0.2 & 5 \cdot 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.3 - 0.2 \cdot 1 & 0.1 - 0.2 \cdot 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.1}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ \frac{0}{- 0.1} & \frac{- 0.1}{- 0.1} & \frac{0.1}{- 0.1} & \frac{0}{- 0.1} \\ 0 & 0.1 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0.1 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.1 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.1 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 0.1 \cdot 0 & 0.1 - 0.1 \cdot 1 & - 0.1 - 0.1 \cdot - 1 & 0 - 0.1 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 z \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 0.8 - 1 & 0.2 - 0 & 0.2 - 0 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $1$ из $0.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 - 0 & 0.2 - 0 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $0$ из $0.2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 - 0 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.3

Вычтем $0$ из $0.2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 - 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.4

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0.5 - 1 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.5

Вычтем $1$ из $0.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.6

Вычтем $0$ из $0.1$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 - 0 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.7

Вычтем $0$ из $0.2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.8

Вычтем $0$ из $0.3$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2.9

Вычтем $1$ из $0.7$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.2}{- 0.2} & \frac{0.2}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 & 0.3 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.3 - 0.2 \cdot - 1 & - 0.3 - 0.2 \cdot - 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.5 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 0.5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{- 0.5} & \frac{- 0.5}{- 0.5} & \frac{0.1}{- 0.5} & \frac{0}{- 0.5} \\ 0 & 0.5 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & - 0.1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 - 0.5 \cdot 0 & 0.5 - 0.5 \cdot 1 & - 0.1 - 0.5 \cdot - 0.2 & 0 - 0.5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - 0.2 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1.2 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 1.2 z = 0$

$y - 0.2 z = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1.2 z \\ 0.2 z \\ z \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1.2 \\ 0.2 \\ 1 \end{array}]}$